$\int_{0}^{1} 9x^8 dx + \int_{0}^{\pi/2} \cos x dx$ का मान है

कथन $(A)$: $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\sin^6 x + \cos^6 x) dx$ अंतराल $(\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{2})$ में स्थित है।
कारण $(R)$: $\sin^6 x + \cos^6 x$ एक आवर्ती फलन है जिसका आवर्तकाल $\frac{\pi}{2}$ है।

एक सतत और अवकलनीय फलन $f$ सभी वास्तविक $x$ के लिए शर्त $\int_{0}^{x} f(t) dt = f^2(x) - 1$ को संतुष्ट करता है। तो:

यदि $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि $I_1 = \int_0^{\pi / 2} \frac{x}{\sin x} dx$ और $I_2 = \int_0^1 \frac{\tan^{-1} x}{x} dx$ है,तो $I_1 : I_2$ क्या है?

मान लीजिए कि फलन $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार परिभाषित है:
$f(t)=\begin{cases} (-1)^{n+1} 2, & \text{यदि } t=2n-1, n \in N \\ \frac{(2n+1-t)}{2} f(2n-1) + \frac{(t-(2n-1))}{2} f(2n+1), & \text{यदि } 2n-1 < t < 2n+1, n \in N \end{cases}$
$g(x) = \int_1^x f(t) dt, x \in (1, \infty)$ को परिभाषित करें। मान लीजिए $\alpha$ अंतराल $(1, 8]$ में समीकरण $g(x) = 0$ के हलों की संख्या को दर्शाता है और $\beta = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{g(x)}{x-1}$ है। तो $\alpha + \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।